向量空间与矩阵
# x1.向量基本运算
# 1.向量相等
等价于每一个对应元素都相等
# 2.向量加法
满足的性质：
- 交换律，a+b=b+a
- 结合律，（a+b）+c=a+（b+c）
- 存在零向量，使得a+0=0+a=a，𝟎=[0,0,…,0]^⊺^
- 负向量，$-𝜶=[−𝛼_1,−𝛼_2,…,−𝛼_𝑛 ]^⊺$
# 3.数乘运算
向量乘以数等价于将每一个元素乘以那个数。
满足的性质：
- $𝑥𝒂=[𝑥𝑎_1,𝑥𝑎_2,…,𝑥𝑎_𝑛 ]^⊺$
- 分配律
- 结合律
- 标量1数乘，等于本身
- 向量0数乘，等于0向量
- 标量0数乘，等于0向量
- 标量-1数乘，等于负向量
- 乘积为0向量，至少有一个必为0
# x3.向量与矩阵（向量组）
# 1.向量组
向量组的概念
向量组线性无关
每个向量乘以任意系数（系数不能全部为0）然后整体相加不能等于0，即为线性无关。
即：当且仅当其中存在向量可以由其余向量线性表出。
向量组线性相关，不是线性无关就是线性相关
# 2.子空间
ℝ^n^的子空间v：定义v为ℝ^n^的一个子集，如果v在向量加和运算和标量乘积运算下是封闭的，那么称v为ℝ^n^的子空间。
- 其中一定包含0向量
多个向量张成的子空间：任意向量集合都能够张成一个子空间，它们所有线性组合的集合称为它们张成的子空间，记为：
- span[α~1~,α~2~,...,α~k~]
子空间V的基为：{α~1~,α~2~,...,α~k~}
子空间的维数dimV即为k
标准基（即将不线性相关的所有基向量分解为长度为1的向量组成的集合)
# x4.矩阵的秩
# 1.行列的秩
矩阵A中线性无关列的最大数目称为矩阵的秩,记为rank A；
即列向量组中包含的极大无关组中向量的个数；
即对应子空间span[α~1~,α~2~,...,α~k~]的维数dimV。
行向量也适用，而且：
行秩=列秩=行向量组张成空间的维度
命题2.3，下列运算中，矩阵A的秩不变：
- 某些列乘以非零标量
- 内部交换列次序
- 在矩阵中加入一个列，此列为其他列的线性组合
# 1-1.方阵
方阵：行数等于列数的矩阵，即A(n x n矩阵)
# 1-2.非零子式（行列式）
这个子式指的是子矩阵的行列式。
命题2.4，如果一个m x n（m ≥ n）矩阵A具有非零的n阶子式，那么A的各列是线性无关的，即rank A=n。
# 2.行列式
行列数：方阵A对应的一个标量，记为det A或|A|。
行列式是各列的线性函数，如下：
行列式的性质：
- 如果对于某个k，有a~k~=a~k+1~，那么det A=0【即行列式有两行（列）相同时行列式等于零，对应的还有一个推导式：】
- 两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
- 行列式与它的转置行列式相等，即det(A)=det(A^T^)
- 行列式中的某一行（列）中的所有元素乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。
- 某些列加上另一列与某个标量的乘积，行列式的值不会改变。【推导式】
- 对换行列式相邻的两行（列），行列式变号。
- 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式可分为那一列都分开的对应的两个行列式的和。
- 特殊行列式：
- 矩阵In的基为标准基，则det In=1
- 矩阵其中一列为0向量，则行列式det A=0
- 运算法则：
- | A^T^ | = | A |
- | λA | = λ^n^| A |
- | AB | = | A | | B | = | BA |
# 2-1.余子式
翻了下线性代数，了解余子式的概念有利于得知行列式的概念，于是记下。
定义：
在n阶行列式中，把（i，j）元a~ij~所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元a~ij~的余子式，记作M~ij~。
# 2-2.代数余子式
与余子式相应的定义：
记A~ij~=(-1)^i+j^M~ij~，A~ij~叫做（i，j）元a~ij~的代数余子式。
定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式成绩之和，即D=a~i1~A~i1~+a~i2~A~i2~+...+a~in~A~in~(i=1,2,...n)。
引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除了a~ij~外都为零，那么这行列式等于a~ij~与它的代数余子式的成绩，即D=a~ij~A~ij~【降阶运算时使用】
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a~i1~A~j1~+a~i2~A~j2~+...+a~in~A~jn~=0(i≠j)【因为这个式子相当于一个两行相等的行列式的展开式】
# 3.非零子式
- p阶子式
- 如果矩阵存在一个非零子式，那么非零子式的列对应的矩阵的列向量组是线性无关的
- 矩阵的秩
- 最大的非零子式的阶即为矩阵的秩
- 非奇异矩阵-行列式非零方阵-可逆矩阵
- 单位矩阵
- 逆矩阵
# x5.矩阵的运算
# 1.矩阵的转置
- (A^T^)^T^=A
- (A+B)^T^=A^T^+B^T^
- (λA)^T^=λA^T^
- (AB)^T^=B^T^A^T^
# 2.逆矩阵、伴随矩阵
n阶矩阵A满足有一个矩阵B： $$ AB=BA=E $$ 则说A是可逆的，并把B称为A的逆矩阵，简称逆阵，记作A^-1^。
性质如下：
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。
若矩阵A可逆，那么det(A)≠0
若det(A)≠0，则矩阵A可逆，且有： $$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{} $$ 其中，A^^为矩阵A的伴随矩阵。
# 3.奇异矩阵
当det(A)=0，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
性质：
- A是可逆矩阵的充要条件就是A是非奇异矩阵。
# x6.线性方程组
- 线性方程组可以写成Ax=b的形式
- 方程组有解条件
- 系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即rank A=rank[A,b]
- 唯一解时，rank A=rank[A,b]=n
- 无穷多解（基础解系）时，rank A=rank[A,b]<n
- 无解时，rank A≠rank[A,b]
# x7.内积和范数
# 0.绝对值运算的性质
实数a的绝对值为|a|，有如下公式成立：
# 1.内积
内积定义，结果范围由空间决定：
简单来说就是，假设有n维向量x和y，则欧式内积为： $$ <x,y>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n $$ 内积是数量积的推广，因为n维向量不能像3维向量以下的向量那样直观显示，但是，我们可以反过来利用内积定义n维向量的长度和夹角。
在实数空间内，内积有如下性质：
总结如下：
非负性
对称性
可加性（加法分配律）
齐次性（数乘可分离）
推论：【施瓦茨不等式】<x,y>^2^ ≤ <x,x><y,y>
在复数空间内，内积运算有如下性质：
总结如下：
- 非负性
- <x,y> = <y,x>的共轭复数
- 加法满足分配律
- 数乘分离
- <x,ry> = <x,y>乘以r的共轭复数
如果<x,y>=0，那么称x和y是正交的；反过来说就是毕达哥斯拉定理。
# 2.欧式范数
向量x的欧式范数定义为，也叫x的长度：
柯西-施瓦茨不等式：
总结一下： $$ |<x,y>| ≤ ||x||\ ||y|| $$
$$ <x,y> = ||x||\ ||y||\cos(x,y)(几何概念) $$
<x,y>=0时垂直，此时x，y线性相关1当||x||=1时，称x为单位向量，若a≠0，取： $$ x=\frac{a}{||a||} $$ ，则由向量a得到x的过程称为向量a的单位化
当x≠0，y≠0时，有： $$ θ = \arccos\frac{<x,y>}{||x||\ ||y||} $$ 称θ为n维向量x与y的夹角。
向量x的欧式范数||x||具有如下性质：
欧式范式是通用向量范数的一个特例，通用向量范数是满足上述3条性质的任意函数。
包括1范数和∞范数，还有通用的p范数：
