有关几何概念
# x1.线段
# x2.超平面和线性簇
# x3.凸集
定义:
Θ内任意两个点𝒖,𝒗 这两个点的凸组合α𝒖+(𝟏−α)𝒗,α∈[0,1] 都在Θ内, Θ称为凸集。
下面的对象都是凸集
空集
单点组成的集合
一条直线或线段
子空间
超平面
线性簇
半空间
ℝ^𝑛
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
# 1.实数向量的凸子集性质
ℝ^𝑛的凸子集具有如下性质:
- 如果Θ是一个凸集, 𝛽是一个实数,那么𝛽 Θ也是一个凸集。 𝛽Θ={𝒙:𝒙=𝛽𝒗,𝒗∈Θ}。
- 如果Θ_1, Θ_2是凸集,那么, Θ_1 〖+Θ〗_2是凸集。 Θ_1 〖+Θ〗_2={𝒙:𝒙=𝒗_1 〖+𝒗〗_2,𝒗_1∈Θ_1,𝒗_2∈Θ_2}
- 任意多个凸集的交集是凸集。
# x4.邻域
# 1.定义:
点𝒙∈ℝ^𝑛^的邻域可以表示为 {𝒚∈ℝ^𝑛^:‖𝒚−𝒙‖<𝜀} 其中𝜀为某个正数。 邻域可以视为以𝒙为中心𝜀为半径的球内。
# 2.相关概念:
- 内点,若集合𝑆包含x的某个邻域,即x的某个邻域的所有的点都属于S,那么点x为S的内点。
- 内部,所有内点的集合。
- 边界点,如果x的邻域包含S中的点,也包含S外的点,叫边界点。(可能在S内,也可能不在)
- 边界,所有边界点的集合。
- 开集(所有点都是内点,或不包括边界点)
- 闭集(包含边界点,或补是开集)
- 有界集
- 紧集
# 3.定理4.2 魏尔斯特拉斯定理
假设𝑓:Ω→ℝ是一个连续函数,其中Ω∈ℝ^𝑛^是紧集。那么,必定存在点𝒙~0~∈Ω,使得对于所有的𝒙∈Ω都有𝑓(𝒙~0~)≤𝑓(𝒙)。也就是𝑓能够在Ω上取得极小值。
# x5.多面体和多胞形
# 1.定义:
多面体(有限个半空间的交集) 多胞形(非空有界多面体,就是多胞形)
凸集Θ的支撑超平面, Θ位于超平面分成的两个半空间的一个内。
# 2.相关概念:
- 多面体的包
- 多面体的维数k
- 任意k维多面体的边界由有限个k-1维多面体构成。
- 由上,可知k维多面体由k-1维面, k-2维面…组成。
- k维多面体的0维面成为多面体的顶点,一维面称为棱。