向量空间与矩阵
# x1.向量基本运算
# 1.向量相等
等价于每一个对应元素都相等
# 2.向量加法
满足的性质:
- 交换律,a+b=b+a
- 结合律,(a+b)+c=a+(b+c)
- 存在零向量,使得a+0=0+a=a,𝟎=[0,0,…,0]^⊺^
- 负向量,$-𝜶=[−𝛼_1,−𝛼_2,…,−𝛼_𝑛 ]^⊺$
# 3.数乘运算
向量乘以数等价于将每一个元素乘以那个数。
满足的性质:
- $𝑥𝒂=[𝑥𝑎_1,𝑥𝑎_2,…,𝑥𝑎_𝑛 ]^⊺$
- 分配律
- 结合律
- 标量1数乘,等于本身
- 向量0数乘,等于0向量
- 标量0数乘,等于0向量
- 标量-1数乘,等于负向量
- 乘积为0向量,至少有一个必为0
# x3.向量与矩阵(向量组)
# 1.向量组
向量组的概念
向量组线性无关
每个向量乘以任意系数(系数不能全部为0)然后整体相加不能等于0,即为线性无关。
即:当且仅当其中存在向量可以由其余向量线性表出。
向量组线性相关,不是线性无关就是线性相关
# 2.子空间
ℝ^n^的子空间v:定义v为ℝ^n^的一个子集,如果v在向量加和运算和标量乘积运算下是封闭的,那么称v为ℝ^n^的子空间。
- 其中一定包含0向量
多个向量张成的子空间:任意向量集合都能够张成一个子空间,它们所有线性组合的集合称为它们张成的子空间,记为:
- span[α~1~,α~2~,...,α~k~]
子空间V的基为:{α~1~,α~2~,...,α~k~}
子空间的维数dimV即为k
标准基(即将不线性相关的所有基向量分解为长度为1的向量组成的集合)
# x4.矩阵的秩
# 1.行列的秩
矩阵A中线性无关列的最大数目称为矩阵的秩,记为rank A;
即列向量组中包含的极大无关组中向量的个数;
即对应子空间span[α~1~,α~2~,...,α~k~]的维数dimV。
行向量也适用,而且:
行秩=列秩=行向量组张成空间的维度
命题2.3,下列运算中,矩阵A的秩不变:
- 某些列乘以非零标量
- 内部交换列次序
- 在矩阵中加入一个列,此列为其他列的线性组合
# 1-1.方阵
方阵:行数等于列数的矩阵,即A(n x n矩阵)
# 1-2.非零子式(行列式)
这个子式指的是子矩阵的行列式。
命题2.4,如果一个m x n(m ≥ n)矩阵A具有非零的n阶子式,那么A的各列是线性无关的,即rank A=n。
# 2.行列式
行列数:方阵A对应的一个标量,记为det A或|A|。
行列式是各列的线性函数,如下:
行列式的性质:
- 如果对于某个k,有a~k~=a~k+1~,那么det A=0【即行列式有两行(列)相同时行列式等于零,对应的还有一个推导式:】
- 两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。
- 行列式与它的转置行列式相等,即det(A)=det(A^T^)
- 行列式中的某一行(列)中的所有元素乘以同一数k,等于用数k乘以此行列式。
- 某些列加上另一列与某个标量的乘积,行列式的值不会改变。【推导式】
- 对换行列式相邻的两行(列),行列式变号。
- 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,那么行列式可分为那一列都分开的对应的两个行列式的和。
- 特殊行列式:
- 矩阵In的基为标准基,则det In=1
- 矩阵其中一列为0向量,则行列式det A=0
- 运算法则:
- | A^T^ | = | A |
- | λA | = λ^n^| A |
- | AB | = | A | | B | = | BA |
# 2-1.余子式
翻了下线性代数,了解余子式的概念有利于得知行列式的概念,于是记下。
定义:
在n阶行列式中,把(i,j)元a~ij~所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a~ij~的余子式,记作M~ij~。
# 2-2.代数余子式
与余子式相应的定义:
记A~ij~=(-1)^i+j^M~ij~,A~ij~叫做(i,j)元a~ij~的代数余子式。
定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式成绩之和,即D=a~i1~A~i1~+a~i2~A~i2~+...+a~in~A~in~(i=1,2,...n)。
引理:一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除了a~ij~外都为零,那么这行列式等于a~ij~与它的代数余子式的成绩,即D=a~ij~A~ij~【降阶运算时使用】
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即a~i1~A~j1~+a~i2~A~j2~+...+a~in~A~jn~=0(i≠j)【因为这个式子相当于一个两行相等的行列式的展开式】
# 3.非零子式
- p阶子式
- 如果矩阵存在一个非零子式,那么非零子式的列对应的矩阵的列向量组是线性无关的
- 矩阵的秩
- 最大的非零子式的阶即为矩阵的秩
- 非奇异矩阵-行列式非零方阵-可逆矩阵
- 单位矩阵
- 逆矩阵
# x5.矩阵的运算
# 1.矩阵的转置
- (A^T^)^T^=A
- (A+B)^T^=A^T^+B^T^
- (λA)^T^=λA^T^
- (AB)^T^=B^T^A^T^
# 2.逆矩阵、伴随矩阵
n阶矩阵A满足有一个矩阵B: $$ AB=BA=E $$ 则说A是可逆的,并把B称为A的逆矩阵,简称逆阵,记作A^-1^。
性质如下:
如果矩阵A是可逆的,那么A的逆矩阵是唯一的。
若矩阵A可逆,那么det(A)≠0
若det(A)≠0,则矩阵A可逆,且有: $$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{} $$ 其中,A^^为矩阵A的伴随矩阵。
# 3.奇异矩阵
当det(A)=0,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。
性质:
- A是可逆矩阵的充要条件就是A是非奇异矩阵。
# x6.线性方程组
- 线性方程组可以写成Ax=b的形式
- 方程组有解条件
- 系数矩阵和增广矩阵的秩相等,即rank A=rank[A,b]
- 唯一解时,rank A=rank[A,b]=n
- 无穷多解(基础解系)时,rank A=rank[A,b]<n
- 无解时,rank A≠rank[A,b]
# x7.内积和范数
# 0.绝对值运算的性质
实数a的绝对值为|a|,有如下公式成立:
# 1.内积
内积定义,结果范围由空间决定:
简单来说就是,假设有n维向量x和y,则欧式内积为: $$ <x,y>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n $$ 内积是数量积的推广,因为n维向量不能像3维向量以下的向量那样直观显示,但是,我们可以反过来利用内积定义n维向量的长度和夹角。
在实数空间内,内积有如下性质:
总结如下:
非负性
对称性
可加性(加法分配律)
齐次性(数乘可分离)
推论:【施瓦茨不等式】<x,y>^2^ ≤ <x,x><y,y>
在复数空间内,内积运算有如下性质:
总结如下:
- 非负性
- <x,y> = <y,x>的共轭复数
- 加法满足分配律
- 数乘分离
- <x,ry> = <x,y>乘以r的共轭复数
如果<x,y>=0,那么称x和y是正交的;反过来说就是毕达哥斯拉定理。
# 2.欧式范数
向量x的欧式范数定义为,也叫x的长度:
柯西-施瓦茨不等式:
总结一下: $$ |<x,y>| ≤ ||x||\ ||y|| $$
$$ <x,y> = ||x||\ ||y||\cos(x,y)(几何概念) $$
<x,y>=0时垂直,此时x,y线性相关
1当||x||=1时,称x为单位向量,若a≠0,取: $$ x=\frac{a}{||a||} $$ ,则由向量a得到x的过程称为向量a的单位化
当x≠0,y≠0时,有: $$ θ = \arccos\frac{<x,y>}{||x||\ ||y||} $$ 称θ为n维向量x与y的夹角。
向量x的欧式范数||x||具有如下性质:
欧式范式是通用向量范数的一个特例,通用向量范数是满足上述3条性质的任意函数。
包括1范数和∞范数,还有通用的p范数: