变换
# x1.线性变换
# 1.定义：
给定函数ℒ：ℝ^𝑛^→ℝ^𝑚^，如果
- 对于任意𝒙∈ℝ^𝑛^和𝑎∈ℝ，都有ℒ(𝑎𝒙)=𝑎ℒ(𝒙)
- 对于任意𝒙,𝒚∈ℝ^𝑛^，都有ℒ(𝒙+𝒚)=ℒ(𝒙)+ℒ(𝒚)
那么称ℒ为一个线性变换。
作用范围是实数空间。
例子：
# 2.相似矩阵
线性变换可以用矩阵表示，而相似矩阵表示相同的线性变换。
相似矩阵的定义：
# x2.特征值与特征向量
# 1.定义
如果A有n个相异的特征值，那么它也有n个线性无关的特征向量。
设n阶矩阵A=(a~ij~)的特征值为λ~1~，λ~2~，...，λ~n~，有如下性质：
- λ~1~+λ~2~+...+λ~n~=a~11~+a~22~+...+a~nn~
- λ~1~λ~2~...λ~n~=| A |，由此可知，A是可逆矩阵的充分必要条件是它的n个特征值均不为0。
# 2.计算方法
由性质，可知求$|A-\lambda E|=0$即可，即解出A对角线的数减去λ后的行列式值=0，这个方程即可。
# 3.定理3.1，特征值数=特征向量数
假定特征方程det[𝜆𝐼−𝐴]=0有𝑛个相异的根$𝜆_1, 𝜆_2, …, 𝜆_𝑛$, 那么存在𝑛个线性无关的向量$𝒗_1, 𝒗_2, …, 𝒗_𝑛$, 使得 $𝐴𝒗_𝑖=𝜆_𝑖 𝒗_𝑖, 𝑖=1,2,…,𝑛$
# 3.定理3.2，对称矩阵特征值为实数
如果矩阵A是对称矩阵，即A=A^T^
那么它的特征值都是实数。
证明如下：
# 4.定理3.3，对称矩阵特征向量相互正交
对于任意的n x n实对称矩阵，其n个特征向量是相互正交的。
证明如下：
# x3.正交投影
# 1.定义
牵扯到了：正交补概念。
# 1-1.正交补
# 1-2.正交分解、正交投影
上述还有正交投影算子的概念
**值域空间（像空间）和零空间（核）**的记法。
# 2.定理3.4
对于任意矩阵，总有值域空间的正交补等于转置矩阵的零空间。
# 3.定理3.5
矩阵P是子空间V=R(P)上的一个正交投影算子，当且仅当P^2^=P=P^T^
# x4.二次型函数
# 1.定义
# 2.正负定
# 3.子式
下面介绍三个概念：子式、主子式、顺序主子式。
# 4.定理3.6：西尔维斯特准则
# 5.定理3.7
如果对称矩阵Q是正定（半正定）的，当且仅当Q的所有特征值是整的（非负的）。
证明如下：
# x5.矩阵范数
# 1.定义
可将矩阵𝐴的范数记为$∥𝐴∥$，它是满足如下条件的任意函数$∥∙∥$:
- 如果𝐴≠𝟎，那么有$∥𝐴∥>0, ∥𝟎∥=0$， 𝟎是零矩阵。
- 对于任意𝑐∈ℝ，有$∥𝑐𝐴∥=|𝑐|∥𝐴∥$
- $∥𝐴+𝐵∥≤∥𝐴∥+ ∥𝐵∥$
- Frobenius矩阵范数
- $∥𝐴∥=(∑_{𝑖=1}^𝑚∑_{𝑗=1}^𝑛(𝑎_𝑖𝑗)^2 )^\ce{1/2}$
- $∥𝐴𝐵∥≤∥𝐴∥∥𝐵∥$
如果对于任意矩阵𝐴∈ℝ^(𝑚×𝑛)和任意向量𝒙∈ℝ^𝑛，有如下不等式成立： 〖∥𝐴𝒙∥〗((𝑚)) ≤∥𝐴∥〖∥𝒙∥〗((𝑛)) 则称该矩阵范数可由向量范数导出，或与向量范数兼容。
# 2.导出范数
导出矩阵范数定义为：
$$ ∥𝐴∥=max[{∥𝒙∥_{(𝑛)}=1}]∥𝐴𝒙∥_{(𝑚)} $$ 导出范数存在(魏尔斯特拉斯定理,定理4.2)。 导出范数满足1-4条件和兼容性条件。
# 3.瑞利不等式
如果𝑛×𝑛矩阵𝑃是一个实数对称矩阵，则有
𝜆~𝑚𝑖𝑛~(𝑃)‖𝒙‖^2^≤𝒙^𝑃^𝒙≤𝜆~𝑚𝑎𝑥~ (𝑃)‖𝒙‖^2
𝜆~𝑚𝑖𝑛~(𝑃)表示矩阵𝑃的最小特征值, 𝜆~𝑚𝑎𝑥~ (𝑃)表示矩阵𝑃的最小特征值。