逻辑代数基础
# x1.逻辑代数的基本公式和常用公式
# 0.基本公式
序号 公式 序号 公式 运算规律
１０ 1=0；0=1
１ 0•A=0 １１ 1+A=1
２ 1•A=A １２ 0+A=A
３ A•A=A １３ A+A=A 重叠律
４ A•Ā=0 １４ A+ Ā=1 互补律
５ A•B=B•A １５ A+B=B+A 交换律
６ A •(B •C) =(A •B) •C １６ A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
７ A• (B+C)=A •B+A •C １７ A+B •C=(A+B) •(A+C) 分配律
８ A • B=Ā +B １８ A+B= Ā • B 反演律
９ A=A 还原律
19 A + A·B = A
20 A + A·B = A + B
21 A ·B + A ·B = A
22 A ·( A + B )= A
23 A·B + A·C + B·C = A·B +A· C
A·B + A·C + BCD = A·B + A· C
24 A·A·B = A·B ； A·A·B = A
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另外比较常用的有： $$ \overline{A⊕B}=A⊙B $$
# x2.逻辑代数的基本定理
# 1.代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻
辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然 成立。
[例2.1] 用代入定理证明德·摩根定理也适用于多变量的情况.
# 2.反演定理
对于任何一个逻辑式Y，若将其中的 “·”换“+”， “+”换“·” ；0换1，1换0；原变量换反变量，反变量换原变量，得到的结果就是 Y
规则：遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。不属于单个变量上的反号应保留不变。
# 3.对偶定理
对于任何一个逻辑式Y， “·”换“+”， “+”换“·” ； 0换1，1换0；可得Y的对偶式Y'
若Y = A(B+C) 则Y'= A+BC 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。(注意，对偶式之间并不相等) 用途：为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明它们的对偶式相等更加容易。 证明：A+BC=(A+B)(A+C)
# x3.逻辑函数的两种标准形式
# 1.最小项
# 定义：
最小项：在n个变量的逻辑函数中，若m为包括全部n个变量的乘积项，而且每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。 例如，A、B、C三个变量的最小项： 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1. 3个变量有2^3^个最小项 n个变量有2^n^个最小项
# 编号表：
将A当作1，反A当作0，最后转换为十进制即为编号。
# 性质：
①在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1 ② 全体最小项之和为1 ③ 任意两个最小项的乘积为0 ④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子
相邻性：若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。
# 2.最大项
# 定义：
最大项： n个变量的逻辑函数中，若M为n个变量之和， 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现 一次，则M为该组变量的最大项 3个变量有2^3^个最大项 n个变量有2^n^个最大项
# 编号表：
正好和小项编号相反，将A当作0，反A当作1，转换为十进制即为编号。
# 性质：
① 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0 ② 全体最大项之积为0 ③ 任意两个最大项之和为1 ④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量 之和
# 3.转换标准与或表达式
即转换为最小项表达式
# 4.相同编号最小项和最大项存在互反关系
推论：==以m个最小项之和表示的n个变量的函数Y，改用最大项之积表示时，其最大项的编号必定都不是最小项的编号，而最大项与最小项的个数之和为2^n^。==
简单来说就是切换最大项和最小项表达式时就切换一下数字即可，当然乘加也得切换。
# 5.转换标准或与表达式
即转换为最大项表达式，一般有两种选择方式，转换为最小项再转回最大项表达式；或者直接转。
# x4.逻辑函数的公式化简法
# 0.总体要求
# 1.最简形式
==与—或表达式==是逻辑函数的最基本表达形式。
逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准：
（1）或项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式， 并且能互转换，如下：
# 2.常用的化简方式：
（1）并项法 （2）吸收法 （3）消因子法 （4）配项法
可以用卡诺图来化简：
# x5.逻辑函数的卡诺图化简法
# 1.定义
一、表示最小项的卡诺图 1.卡诺图:将n变量的所有最小项各用一个小方块表示，使具有逻辑相邻项的最小项在几何位置上也相邻的排列。 2.相邻性：仅有一个因子不同，其余因子都相同
注意：注意上图的书写顺序，为了满足卡诺图的定义（即几何相邻的元素仅有一个因子不同），所以和平常递增顺序有所不同。
# 2.用卡诺图表示逻辑函数
1、把逻辑函数化为最小项之和的形式， 2、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填1 3、在其余位置上填入0
例子：
# 3.用卡诺图化简逻辑函数
化简原理:具有相邻性的最小项可以合并,并消去不同的因子。（注意：“穿墙”也是相邻）
一、合并最小项的规则 1、若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子 2、若四个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。 3、若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。
二、卡诺图化简的步骤： 1、将函数化为最小项之和的形式 2、画出表示该逻辑函数的卡诺图 3、找出可以合并的最小项 4、选取化简后的乘积项。 画圈的原则: （1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有 2^n^（n=0,1,2,3„„）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈内方格数要尽可能多，圈的个数要尽可能少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 （4）在新画的圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
例子：
# x6.具有无关项的逻辑函数及化简
# 1.无关项
无关项：在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项
例如：A=1代表电机正转， B=1代表电机反转， C=1代表电机停转。那么以下这些约束项不能为1，必须恒等于0，即：
# 2.无关项化简原则：
①、无关项既可看作“1”也可看作“0”。 ②、卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，圈组外的视为“0”。
简单来说就是X可以和1放在一起画圈，但是与1不同的是它无需像1一般必须全部都圈上。
# 3.例子：
