逻辑代数基础
# x1.逻辑代数的基本公式和常用公式
# 0.基本公式
序号 公式 序号 公式 运算规律
10 1=0;0=1
1 0•A=0 11 1+A=1
2 1•A=A 12 0+A=A
3 A•A=A 13 A+A=A 重叠律
4 A•Ā=0 14 A+ Ā=1 互补律
5 A•B=B•A 15 A+B=B+A 交换律
6 A •(B •C) =(A •B) •C 16 A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
7 A• (B+C)=A •B+A •C 17 A+B •C=(A+B) •(A+C) 分配律
8 A • B=Ā +B 18 A+B= Ā • B 反演律
9 A=A 还原律
19 A + A·B = A
20 A + A·B = A + B
21 A ·B + A ·B = A
22 A ·( A + B )= A
23 A·B + A·C + B·C = A·B +A· C
A·B + A·C + BCD = A·B + A· C
24 A·A·B = A·B ; A·A·B = A
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另外比较常用的有: $$ \overline{A⊕B}=A⊙B $$
# x2.逻辑代数的基本定理
# 1.代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中,若以另外一个逻 辑式代入式中所有A的位置,则等式仍然 成立。 [例2.1] 用代入定理证明德·摩根定理也适用于多变量的情况.
# 2.反演定理
对于任何一个逻辑式Y,若将其中的 “·”换“+”, “+”换“·” ;0换1,1换0;原变量换反变量,反变量换原变量,得到的结果就是 Y
规则:遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。不属于单个变量上的反号应保留不变。
# 3.对偶定理
对于任何一个逻辑式Y, “·”换“+”, “+”换“·” ; 0换1,1换0;可得Y的对偶式Y'
若Y = A(B+C) 则Y'= A+BC 对偶规则的基本内容是:如果两个逻辑函数表达式相等,那么它们的对偶式也一定相等。(注意,对偶式之间并不相等) 用途:为了证明两个逻辑式相等,可以通过证明它们的对偶式相等来完成,因为有些情况下证明它们的对偶式相等更加容易。 证明:A+BC=(A+B)(A+C)
# x3.逻辑函数的两种标准形式
# 1.最小项
# 定义:
最小项:在n个变量的逻辑函数中,若m为包括全部n个变量的乘积项,而且每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式在m中出现一次,则称m为该组变量的最小项。 例如,A、B、C三个变量的最小项: 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1. 3个变量有2^3^个最小项 n个变量有2^n^个最小项
# 编号表:
将A当作1,反A当作0,最后转换为十进制即为编号。
# 性质:
①在输入变量的任何取值下必有一个最小项,而且仅有一个最小项的值为1 ② 全体最小项之和为1 ③ 任意两个最小项的乘积为0 ④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子
相邻性:若两个最小项只有一个因子不同,则称这两个最小项具有相邻性。
# 2.最大项
# 定义:
最大项: n个变量的逻辑函数中,若M为n个变量之和, 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现 一次,则M为该组变量的最大项 3个变量有2^3^个最大项 n个变量有2^n^个最大项
# 编号表:
正好和小项编号相反,将A当作0,反A当作1,转换为十进制即为编号。
# 性质:
① 在输入变量的任何取值下必有一个最大项,而且仅有一个最大项的值为0 ② 全体最大项之积为0 ③ 任意两个最大项之和为1 ④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量 之和
# 3.转换标准与或表达式
即转换为最小项表达式
# 4.相同编号最小项和最大项存在互反关系
推论:==以m个最小项之和表示的n个变量的函数Y,改用最大项之积表示时,其最大项的编号必定都不是最小项的编号,而最大项与最小项的个数之和为2^n^。==
简单来说就是切换最大项和最小项表达式时就切换一下数字即可,当然乘加也得切换。
# 5.转换标准或与表达式
即转换为最大项表达式,一般有两种选择方式,转换为最小项再转回最大项表达式;或者直接转。
# x4.逻辑函数的公式化简法
# 0.总体要求
# 1.最简形式
==与—或表达式==是逻辑函数的最基本表达形式。
逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准:
(1)或项最少,即表达式中“+”号最少。 (2)每个与项中的变量数最少,即表达式中“· ”号最少。
一个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式, 并且能互转换,如下:
# 2.常用的化简方式:
(1)并项法 (2)吸收法 (3)消因子法 (4)配项法
可以用卡诺图来化简:
# x5.逻辑函数的卡诺图化简法
# 1.定义
一、表示最小项的卡诺图 1.卡诺图:将n变量的所有最小项各用一个小方块表示,使具有逻辑相邻项的最小项在几何位置上也相邻的排列。 2.相邻性:仅有一个因子不同,其余因子都相同
注意:注意上图的书写顺序,为了满足卡诺图的定义(即几何相邻的元素仅有一个因子不同),所以和平常递增顺序有所不同。
# 2.用卡诺图表示逻辑函数
1、把逻辑函数化为最小项之和的形式, 2、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填1 3、在其余位置上填入0
例子:
# 3.用卡诺图化简逻辑函数
化简原理:具有相邻性的最小项可以合并,并消去不同的因子。(注意:“穿墙”也是相邻)
一、合并最小项的规则 1、若两个最小项相邻,则可合并为一项并消去一对因子 2、若四个最小项相邻并排成一个矩形组,则可合并为一项并消去两对因子。 3、若八个最小项相邻并排成一个矩形组,则可合并为一项并消去三对因子。
二、卡诺图化简的步骤: 1、将函数化为最小项之和的形式 2、画出表示该逻辑函数的卡诺图 3、找出可以合并的最小项 4、选取化简后的乘积项。 画圈的原则: (1)尽量画大圈,但每个圈内只能含有 2^n^(n=0,1,2,3„„)个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 (2)圈内方格数要尽可能多,圈的个数要尽可能少。 (3)卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过,即不能漏下取值为1的最小项。 (4)在新画的圈中至少要含有1个未被圈过的1方格,否则该包围圈是多余的。
例子:
# x6.具有无关项的逻辑函数及化简
# 1.无关项
无关项:在有些逻辑函数中,输入变量的某些取值组合不会出现,或者一旦出现,逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项
例如:A=1代表电机正转, B=1代表电机反转, C=1代表电机停转。那么以下这些约束项不能为1,必须恒等于0,即:
# 2.无关项化简原则:
①、无关项既可看作“1”也可看作“0”。 ②、卡诺图中,圈组内的“×”视为“1”,圈组外的视为“0”。
简单来说就是X可以和1放在一起画圈,但是与1不同的是它无需像1一般必须全部都圈上。