x1.线段

x2.超平面和线性簇

x3.凸集

定义：

Θ内任意两个点𝒖,𝒗 这两个点的凸组合α𝒖+(𝟏−α)𝒗,α∈[0,1] 都在Θ内， Θ称为凸集。

下面的对象都是凸集

空集
单点组成的集合
一条直线或线段
子空间
超平面
线性簇
半空间
ℝ^𝑛

1.实数向量的凸子集性质

ℝ^𝑛的凸子集具有如下性质：

• 如果Θ是一个凸集， 𝛽是一个实数，那么𝛽 Θ也是一个凸集。 𝛽Θ={𝒙:𝒙=𝛽𝒗,𝒗∈Θ}。
• 如果Θ_1​, Θ_2是凸集，那么， Θ_1 〖+Θ〗_2是凸集。 Θ_1 〖+Θ〗_2={𝒙：𝒙=𝒗_1 〖+𝒗〗_2,𝒗_1∈Θ_1,𝒗_2∈Θ_2}
• 任意多个凸集的交集是凸集。

x4.邻域

1.定义：

点𝒙∈ℝ^𝑛^的邻域可以表示为 {𝒚∈ℝ^𝑛^:‖𝒚−𝒙‖<𝜀} 其中𝜀为某个正数。 邻域可以视为以𝒙为中心𝜀为半径的球内。

2.相关概念：

• 内点，若集合𝑆包含x的某个邻域，即x的某个邻域的所有的点都属于S，那么点x为S的内点。
• 内部，所有内点的集合。
• 边界点，如果x的邻域包含S中的点，也包含S外的点，叫边界点。（可能在S内，也可能不在）
• 边界，所有边界点的集合。
• 开集（所有点都是内点，或不包括边界点）
• 闭集（包含边界点，或补是开集）
• 有界集
• 紧集

3.定理4.2 魏尔斯特拉斯定理

假设𝑓:Ω→ℝ是一个连续函数，其中Ω∈ℝ^𝑛^是紧集。那么，必定存在点𝒙~0~∈Ω，使得对于所有的𝒙∈Ω都有𝑓(𝒙~0~)≤𝑓(𝒙)。也就是𝑓能够在Ω上取得极小值。

x5.多面体和多胞形

1.定义：

多面体（有限个半空间的交集） 多胞形（非空有界多面体，就是多胞形）

凸集Θ的支撑超平面， Θ位于超平面分成的两个半空间的一个内。

2.相关概念：

• 多面体的包
• 多面体的维数k
• 任意k维多面体的边界由有限个k-1维多面体构成。
• 由上，可知k维多面体由k-1维面， k-2维面…组成。
• k维多面体的0维面成为多面体的顶点，一维面称为棱。